Твой черёд — осень

В вашем случае, «проспорить спор» — это плеоназм. Глагол «проспорить» уже содержит в себе значение слова «спор». Он означает «проиграть в споре». Поэтому говорить «проспорил спор» так же избыточно, как «проиграл игру» или «победил победу».
Гораздо правильнее и естественнее звучит «проспорил» (и все понимают, что речь идёт о споре).